Hier wird keine annähernd vollständige oder wohlfundierte Behandlung der Prädikatenlogik geboten. Vielmehr werden informell ein paar elementare Begriffe der klassischen Prädikatenlogik erster Stufe eingeführt, die der Linguist zur semantischen Repräsentation braucht. Die Details des eingeführten Formalismus sind – wie stets bei Formalismen – natürlich nicht allgemeingültig, entprechen aber jahrzehntealten Konventionen, die sich u.a. in zahlreichen Programmiersprachen niedergeschlagen haben.

Die Prädikatenlogik (auch: der Prädikatenkalkül oder die Quantorenlogik) ist eine Abteilung der Logik, die neben der Aussagenlogik (dem Propositionenkalkül) steht. Während in letzterer die Proposition atomisch ist, wird in der Prädikatenlogik ihre Zusammensetzung aus Prädikaten, ihren Argumenten sowie weiteren Operatoren betrachtet.

Prädikate und Argumente

Der zentrale Begriff der Prädikatenlogik ist das Prädikat, auch Funktor genannt. Es ist in seinen formalen Eigenschaften dem Verb einer natürlichen Sprache vergleichbar. Semantisch allerdings entspricht es eher allen Ausdrücken natürlicher Sprachen, welche Begriffe bedeuten. Es hat Valenz wie ein Verb, und seine Aktanten oder Komplemente nennen sich Argumente.1 B1.a zeigt das Prädikat P, welches ein Argument nimmt, und zwar x. B1.b zeigt ein Prädikat mit zwei Argumenten:

B1.a. P (x)

   b. R (x, y)

Die Argumente werden also in runden Klammern hinter dem Prädikat notiert und durch Komma voneinander getrennt. Die Buchstaben P und R stehen für Prädikatenkonstanten, will sagen, für bestimmte Prädikate. Das können auch Symbole wie ist_ein_Kind, bewundert, sendet sein, wie in B2:

B2. bewundert (x, y)

In der Logik allerdings verwendet man meistens die Majuskeln ab P als Prädikatenkonstanten, wie in B1 (manchmal auch die ersten Majuskeln des Alphabets, also A, B, C ...).

Für jedes Prädikat liegt also die Anzahl der Argumente, die es nimmt, fest; das ist seine Stelligkeit. Ein einstelliges Prädikat ist eine Eigenschaft; ein mehrstelliges Prädikat ist eine Relation. Als Symbol für Relationen dient typischerweise R, wie in B1.b.

B2 kann man ähnlich verstehen wie die linguistische Repräsentation der Valenz eines bivalenten Verbs: bewundert setzt die beiden Argumente x und y zueinander in Beziehung. Die Reihenfolge der Argumente in den Klammern ist wesentlich. In B2 ist es x, der y bewundert; in bewundert (y, x) wäre es andersherum.2

Die Argumente eines Prädikats sind im einfachsten Falle Individuen (es können auch Propositionen sein). x und y sind Individuenvariablen; d.h. sie stehen nicht für bestimmte Individuen, sondern sind lediglich Platzhalter von Argumenten. Für Individuenvariablen verwendet man i.a. die hinteren Minuskeln des Alphabets oder, wenn diese nicht ausreichen, x mit numerischen Indices, also x1, x2 ... xn. Meint man bestimmte Individuen, so repräsentiert man sie durch Individuenkonstanten. Das könnten im Prinzip referierende Ausdrücke wie Erna, der Mount Everest, die älteste derzeit lebende Person3 sein, wie in B4; aber in der Logik sind es meist die ersten Minuskeln des Alphabets, also a, b, c ..., wie in B3.

B3.a. P (a)

    b. R (a, b)

B4.a. ist_ein_Kind (Erna)

    b. bewundert (Erna, die_älteste_derzeit_lebende_Person)

Statt B4.a reicht es auch, Kind (Erna) zu schreiben. Da es in der Logik sowieso keine Kopula gibt, braucht man auch Bezeichner von Prädikaten nicht mit ihr auszustatten. M.a.W., die grammatischen Unterschiede zwischen Appellativa, Adjektiven und Verben werden ignoriert; wichtig ist nur, daß sie alle Begriffe bezeichnen.

Solange einer Variablen noch keine individuierenden Eigenschaften zugeschrieben worden sind, rangiert sie über den gesamten Wertebereich. Folgende Aussage ist also kontradiktorisch:

(∃x) F(x) & ¬(∃y) F(y)

M.a.W., Individuenvariablen bezeichnen in einem Ausdruck nicht deswegen etwas Verschiedenes, weil sie durch verschiedene Buchstaben repräsentiert sind, sondern erst nachdem in dem Ausdruck ausdrücklich gesagt worden ist, daß sie verschieden sind. Das geschieht in klarer Weise dadurch, daß man etwas sagt wie ‘x ≠ y’.

Relationenlogik

Eine Abteilung der Prädikatenlogik, die Relationenlogik, untersucht die Eigenschaften von Relationen. Z.B. kann man zu einer gegebenen Relation R die Konverse R' bilden. Sie ist so definiert wie in B5.a. B5.b ist ein an die Natursprache angelehntes Beispiel:

B5.a. R (x, y) ↔ R' (y, x)

    b bewundert (x, y) ↔ wird_bewundert (y, x)

Wiederum spielen die grammatischen (syntaktischen und morphologischen) Eigenschaften der natursprachlichen Konstruktionen, an die solche Beispiele angelehnt sind, in der Logik absolut keine Rolle. Und indem die konversen Konstruktionen in B5 mit dem Äquivalenzjunktor verbunden sind, werden sie ausdrücklich für synonym erklärt, während die entsprechenden natursprachlichen Konstruktionen nicht in allen Kontexten austauschbar sind.

Auf dieselbe Weise kann man auch andere semantisch konverse Verhältnisse definieren, z.B.:

B6. gibt (x, y, z) ↔ bekommt (y, z , x)

B7. Geschwister (x, y) ↔ Geschwister (y, x)

Die beiden Prädikate von B6 sind zueinander konvers, während das Prädikat von B7 symmetrisch ist.

Der Prädikatenkalkül ist der Algebra ähnlicher als einer natürlichen Sprache. B7 z.B. ist genauso zu verstehen wie die Gleichung B8, welche die Symmetrie des ‘+’-Operators festsetzt.

B8. x + y = y + x

Weiteres zur Relationenlogik anderswo.

Propositionenkalkül mit prädikatenlogischen Ausdrücken

Ausdrücke wie die in B3 und B4 sind Propositionen. Im Propositionenkalkül würden sie normalerweise durch Minuskeln wie p, q ... ersetzt werden. Im Prädikatenkalkül geht es aber um die aussagenlogischen Eigenschaften von prädikatenlogischen Ausdrücken. Folglich werden prädikatenlogische Ausdrücke ebenso wie Aussagenvariablen und -konstanten mit Junktoren miteinander verknüpft, wie es schon in den vorigen Beispielen zu sehen ist. B9 ist ein Beispiel mit Propositionenkonstanten.

B9. Kind (Erna) & bewundert (Erna, Mount_Everest)

Das kann man lesen “Erna ist ein Kind und Erna bewundert den Mount Everest”. Da aber die logischen Kalküle den Ausdrucksreichtum (sowie die damit verbundenen semantischen und pragmatischen Nuancen) natürlicher Sprachen sowieso nicht wiedergeben, kann man es auch lesen “das Kind Erna bewundert den Mount Everest”, und noch auf andere Weisen.

Offene Propositionen

Besetzt man alle Stellen einer Prädikatenkonstante mit Individuenkonstanten, so wie in B3 und B4, so erhält man eine Proposition. Eine Proposition bezeichnet einen bestimmten Sachverhalt, d.h. sie hat einen Wahrheitswert. Bleibt dagegen mindestens eine Stelle übrig, die lediglich durch eine Variable (präziser, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, durch eine freie Variable) besetzt ist, so bezeichnet der Ausdruck keinen bestimmten Sachverhalt mehr. B10 ist ein Beispiel.

B10. bewundert (x, Erna)

B10 kann man lesen “x bewundert Erna”, wo x irgendetwas sein kann. Solche Ausdrücke nennt man offene Propositionen. Auch B1 und B2 sowie B5 – B7 sind Beispiele offener Propositionen. Eine offene Proposition wie die in B1 kann man z.B. dazu verwenden, den Valenzrahmen eines Prädikats anzugeben. Offene Propositionen wie die in B5 – B7 kann man z.B. dazu verwenden, um die Valenzeigenschaften von Ausdrücken bzw. die Valenzoperationen über ihnen zu beschreiben. Ferner kann man eine offene Proposition (in entsprechend zusammengesetzten Ausdrücken) dazu verwenden, um Gegenstände dadurch zu charakterisieren, daß sie die Position der Variable in ihr einnehmen. So würde man etwa das natursprachliche Pendant von B10 verwenden, um “wer Erna bewundert” oder “diejenigen, die Erna bewundern” zu konstruieren.

Wenn eine Stelle eines Prädikats mit einer Konstante (oder einer gebundenen Variable; s. §5) besetzt ist, ist diese Stelle blockiert. M.a.W., ein n-stelliges Prädikat, von dem eine Stelle mit einer Konstante besetzt ist, verhält sich wie ein n-1-stelliges Prädikat. Aus der natürlichen Sprache kann man Verhältnisse wie zwischen x glaubt an Gott und x glaubt zum Vergleich heranziehen. Folglich ist ein Prädikat, dessen sämtliche Stellen durch Konstanten besetzt sind, wie ein nullstelliges Prädikat. (Vgl. z.B. altgriech. Zeûs húei (Zeus regnet) “es regnet”.) Ein solches Prädikat ist, wie eingangs gesagt, eine Proposition.

Quantoren

Ausdrücke wie B1 und B2 bezeichnen keine individuellen Sachverhalte, weil die enthaltenen Individuenvariablen keine eindeutige Referenz haben. Will man Aussagenlogik über Propositionen treiben, die Variablen enthalten, muß man diese durch Quantoren binden. Ein Quantor ist ein Operator, der angibt, ob ein Prädikat auf alle Elemente zutrifft, über die eine Variable rangiert, oder nur auf einige davon. Ein Quantor quantifiziert also eine Menge von Individuen dadurch daß er die Variable, deren Wertebereicht sie bildet, bindet. Dieses letztere macht man dadurch, daß man den Quantor zusammen mit der gebundenen Variable vor die Proposition setzt. Z.B. drückt B11 aus “alle sind Kinder”, während B12 ausdrückt “alle bewundern Erna”.

B11. ∀x Kind (x)

B12. ∀x bewundert (x, Erna)

In der Prädikatenlogik spielen zwei Quantoren eine Rolle:

Hier einige Beispiele mit Existenzquantor:

B13.∃x Kind (x)“es existiert mindestens eine Entität, für welche gilt, daß sie ein Kind ist”, oder weniger formell: “es gibt Kinder”
B14.∃x bewundert (x, Erna)“es gibt mindestens eine Entität, welche Erna bewundert” bzw. weniger formell: “manche bewundern Erna”

In B11 und B12 bindet der Quantor die Variable x. In diesen Propositionen sind also alle Individuenausdrücke entweder Konstanten oder gebundene Variablen. Propositionen mit freien Variablen sind, wie gesagt, offene Propositionen. Man vergleiche B15 mit B12:

B15.∀x bewundert (x, y)“alle bewundern y”

Hier bliebt offen, was y ist. Ähnlich wie oben könnte man das natursprachliche Gegenstück von B15 zur Konstruktion von “wen alle bewundern” bzw. “diejenigen (y), welche von allen bewundert werden” verwenden.

Will man Propositionen mit mehreren Variablen konstruieren, muß man jede davon durch einen Quantor binden, nach dem Vorbild der folgenden Beispiele:

B16.∃y ∀x bewundert (x, y)“Es gibt mindestens eine Entität derart, daß für alle Entitäten gilt, daß letztere erstere bewundern” oder einfacher: “Manche werden von allen bewundert.”
B17.∀x ∃y bewundert (x, y)“Für jeden gibt es mindestens einen, den er bewundert” oder “jeder bewundert irgendjemanden”

Wie man sieht, sind B16 und B17 nicht synonym. Die Reihenfolge der Quantoren am Anfang des Ausdrucks spielt also eine Rolle. Man sagt auch, ein Quantor habe Skopus über die nachfolgenden Quantoren.

Quantoren binden Variablen auch über elementare Propositionen hinweg:

B18.∀x ∀y (Kind (x) & Vater (y, x)) → bewundert (x, y) “alle Kinder bewundern ihren Vater”

B18 zeigt en passant, wie die prädikatenlogische Formulierung auch der Disambiguierung natursprachlicher Ausdrücke dient: Der als Lesung von B18 beigegebene informelle Ausdruck kann bedeuten, daß jeder seinen Vater bewundert oder daß jeder im Kindesalter seinen Vater bewundert. Der prädikatenlogische Ausdruck bedeutet nur das letztere.

Symbolinventar

Die Symbole der mit ‘Beispiele’ überschriebenen Spalte stehen traditionell für Größen des Typs der ersten Spalte. Die Ausdrücke der letzten Spalte werden nur zur Veranschaulichung beigegeben. Sie kommen in Ausdrücken eines Prädikatenkalküls tatsächlich nicht vor; und in natürlicher Sprache haben sie Eigenschaften, die die Logik nur stören.

Symbolinventar der Prädikatenlogik
SymboltypBeispielenatursprachliche Entsprechungen
Individuenkonstantena, b, c ...Erna, Linguistik, die Bundeskanzlerin
Individuenvariablenx, y, z; x1, x2 ... xnjemand, etwas
PrädikatenkonstantenP, Q, ...studiert, (ist_ein_)Mensch, gibt ...
PrädikatenvariablenR(engl. do)
Quantoren∀, ∃alle, einige

1 Achtung: Diese Bedeutung des Wortes Argument hat absolut nichts mit der umgangssprachlichen Bedeutung des Worts zu tun!

2 Die Reihenfolge der Argumente ist übrigens alles, was die Prädikatenlogik zum Thema ‘syntaktische/semantische Funktionen von Argumenten’ zu sagen hat.

3 Kennzeichnungen wie die älteste derzeit lebende Person sind freilich intern komplex, indem sie wiederum Prädikate enthalten. Davon wird hier abgesehen.